Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato

Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti  in senso stretto. Ciò significa che dobbiamo considerare la relazione < oppure > e non    oppure  ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in Scarpe Letgo Civitanova A Nero Nike In Vendita Marche Usati dCBoexsenso lato  che definiremo in seguito.

Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

 

xNero Moschino Neve Zalando it Stivali Da Love Fc3TJ1lK1< x2   f(x1 ) < f(x2)

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Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali  ∆y/∆x sono sempre positivi.

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[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) Baldinini it Nero Stivali Zalando Alti dQhxtsrC≤ f(x2)

 

allora la funzione si dice non decrescente (o crescente in senso lato), cioè  f(x) o cresce o si mantiene costante].

Osserviamo attentamente il diagramma di due funzioni crescenti (in senso stretto):

 

        fig. 1a)                                                                                     fig. 1b)Italiano 574Grigie Classic Balance Scarpe New DeHEIW92Y

 

 

Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x1< xJeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54 f(x1 )> f(x2)

 

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

 

[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) ≥ f(Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54xGiacca Shop In Lana GallesInvernale Online Uomo Fantasia tQrCxshd2)

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la funzione si dice non crescente (o decrescente in senso lato), ovvero la f(x) o decresce o si mantiene   

costante]

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Osserviamo attentamente i diagrammi di due funzioni decrescenti in senso stretto:

        fig. 2a)                                                                                       fig. 2b)

 

Ebbene, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) > 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è positivo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è positivo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  

Pertanto, possiamo dire che:

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1.       se risulta  f (x) > 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è crescente in [a;b]

Invece, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) < 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è negativo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è negativo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  Brutte Personalizzata Per Sempre Di AdidasScarpe YamamotoLe Più CexdBo

Pertanto, possiamo dire che:

2.       se risulta  fAsics Gel 4Scarpe Contend Running Donna BrCxode(x) < 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è decrescente in [a;b]

Non è vero il viceversa , ossia:

 

se la funzione è crescente o decrescente in [a;b] allora non è detto che sia f ’(x)> 0  o f ‘ (x)< 0

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Infatti basta considerare come esempio il diagramma delle funzioni rappresentate in fig. 3a) e fig. 3b):

 

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               fig. 3a)                                                                                 fig. 3b)

 

Infatti, come si osserva in fig. 3a) le tangenti ad una curva con andamento strettamente crescente  o hanno coefficiente angolare m>0 ( perché formano con l’asse delle x un angolo acuto)  o m = 0 (perché la retta tangente t  è parallela all’asse delle x) e pertanto, tenuto conto dell’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto x generico dell’intervallo di definizione, si ha che in tali punti risultano rispettivamente f ’(x) > 0 oppure f ’(x) = 0.

Analogamente, dal grafico illustrato in fig. 3 b) si rileva che se  la funzione  ha andamento decrescente la condizione f ’(x)< 0 non risulta verificata in tutti i punti x interni all’intervallo di definizione. Infatti la tangente t nel punto x = 0  ha coefficiente angolare m = 0 e quindi  f ’(x) = 0.

Pertanto, possiamo affermare che:

 

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se f(x) è crescente (o decrescente) f ’(x) Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj540  ( o f ’(x) 0 )

 

Come vedremo meglio in seguito, il punto nell’intorno del quale la funzione è crescente (o decrescente) e derivata nulla viene denominato flesso a tangente orizzontale ( vedi fig. 3) e 3b).

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Funzioni crescenti e decrescenti in un punto

Come è stata definita la funzione crescente e decrescente nell’intervallo [a;b], cioè globalmente, allo stesso modo si definisce la funzione crescente e decrescente in un punto x0 interno ad [a;b]. Solo che questa volta non si tratta di una proprietà globale ma di una proprietà locale Lacci Scarpe Tela Nere Bianche Run Running Ks Kappa K 10 Donna Pelle GLqSUzMVpdella f(x), ossia di una proprietà valida soltanto in un opportuno intorno del punto x0.

Infatti, una funzione si dice crescente o decrescente nel punto x0 se e soltanto se in un intorno completo di x0, (xCappotto Dorati Iluvadol Con Bottoni Dorati Con Cappotto Iluvadol Bottoni 6bfvIyg7Y0 - h ; x0 + h) contenuto in [a; b], si verificano rispettivamente le seguenti implicazioni:

 

se  ( x0 - h < xZalando Uomo Blu Running Scarpe Da In Promozione Su pUMzVjLGqS0 < x0 + h) → f(x0 – h) < f(x0) < f(x0 + h)Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

oppure

se  ( x0 - h < x0 < x0 + h) → f(x0 Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54– h) > f(x0) > f(x0 + h)

 

 

Osservazione

Per determinare, dunque, gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente basta studiare il segno della sua derivata prima.

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Esempio

Determinare in quali intervalli è crescente o decrescente la seguente funzione

 

y =x3-3x2+1itScarpe Grigio Amazon Donna Classiche itScarpe Amazon nwON80vm

 

Innanzitutto determiniamo il dominio: la funzione è definita per ogni x reale.

Per determinare in quali intervalli la f(x) è crescente o decrescente studiamo il segno della sua derivata prima che è la seguente:

y ‘ = 3x2-6xJeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

Studiamo y’ > 0:

3x2-6x > 0 →  x2-2x > 0 → x(x-2) >0

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→ ( x = 0 , x = 2) → x< 0 V x>2

 

Compiliamo il quadro dei segni:

 

In corrispondenza degli intervalli con segno positivo, tracciamo la freccia rivolta verso l’alto per indicare che la funzione è crescente; in corrispondenza di quelli con segno negativo tracciamo la freccia rivolta verso il basso per indicare che la funzione è decrescente

 
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Quindi la funzione è crescente per x< 0 V x>2 mentre è decrescente nel restante intervallo, cioè per 0<x<2.