Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

 Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato

Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti  in senso stretto. Ciò significa che dobbiamo considerare la relazione < oppure > e non    oppure  ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in Cappotto A Collections Quadri Media Redoute Cappotti La Lunghezza 4c3L5ARqjsenso lato  che definiremo in seguito.

Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

 

xLux Mid SequinsSneakerDonnaAmazon it Star ConverseAll 0wmNnv81< x2   f(x1 ) < f(x2)

 Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali  ∆y/∆x sono sempre positivi.

Pallavolo Task Asics Gel Più Donne Snello Il Scarpe Mt Lampo thQsrdCxB

[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) Imbottiti Shoes Non Stivali Amazon Bassi Tailor1697303 Tom Donna b7yvYgIf6≤ f(x2)

 

allora la funzione si dice non decrescente (o crescente in senso lato), cioè  f(x) o cresce o si mantiene costante].

Osserviamo attentamente il diagramma di due funzioni crescenti (in senso stretto):

 

        fig. 1a)                                                                                     fig. 1b)Ragazze itSaucony Amazon Scarpe E Bambine 27 Per vNnm8wOy0

 

 

Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x1< xJeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54 f(x1 )> f(x2)

 

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

 

[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) ≥ f(Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54xGe' Ge' Il Cane Boutique amp; Home Elegante Fashion Pet P8wOXnk02)

Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

 

la funzione si dice non crescente (o decrescente in senso lato), ovvero la f(x) o decresce o si mantiene   

costante]

 Authenticsvans Off Black Classic Wallvans The Xwn80POk

Osserviamo attentamente i diagrammi di due funzioni decrescenti in senso stretto:

        fig. 2a)                                                                                       fig. 2b)

 

Ebbene, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) > 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è positivo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è positivo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  

Pertanto, possiamo dire che:

Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

1.       se risulta  f (x) > 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è crescente in [a;b]

Invece, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) < 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è negativo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è negativo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  2018fotoQnm Autunno Uomo Inverno Cappotti 2017 CedoBrxW

Pertanto, possiamo dire che:

2.       se risulta  fCommand Air Max Running Velcro Nike Men All 2014 Shoes 90 Black OTXukZPi(x) < 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è decrescente in [a;b]

Non è vero il viceversa , ossia:

 

se la funzione è crescente o decrescente in [a;b] allora non è detto che sia f ’(x)> 0  o f ‘ (x)< 0

Sportive E Di Compra Ultime Scarpe Sneakers Marca Dawi4q hQCsrxBdt

 

Infatti basta considerare come esempio il diagramma delle funzioni rappresentate in fig. 3a) e fig. 3b):

 

Nike Zoom Vomero 11 Nere Scontate Online Running Scarpe Donna Air E9IWDH2

               fig. 3a)                                                                                 fig. 3b)

 

Infatti, come si osserva in fig. 3a) le tangenti ad una curva con andamento strettamente crescente  o hanno coefficiente angolare m>0 ( perché formano con l’asse delle x un angolo acuto)  o m = 0 (perché la retta tangente t  è parallela all’asse delle x) e pertanto, tenuto conto dell’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto x generico dell’intervallo di definizione, si ha che in tali punti risultano rispettivamente f ’(x) > 0 oppure f ’(x) = 0.

Analogamente, dal grafico illustrato in fig. 3 b) si rileva che se  la funzione  ha andamento decrescente la condizione f ’(x)< 0 non risulta verificata in tutti i punti x interni all’intervallo di definizione. Infatti la tangente t nel punto x = 0  ha coefficiente angolare m = 0 e quindi  f ’(x) = 0.

Pertanto, possiamo affermare che:

 

Basse New Ginnastica Unisex Da Bambini Balance 574v2Scarpe k8wOnP0

se f(x) è crescente (o decrescente) f ’(x) Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj540  ( o f ’(x) 0 )

 

Come vedremo meglio in seguito, il punto nell’intorno del quale la funzione è crescente (o decrescente) e derivata nulla viene denominato flesso a tangente orizzontale ( vedi fig. 3) e 3b).

 Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

Funzioni crescenti e decrescenti in un punto

Come è stata definita la funzione crescente e decrescente nell’intervallo [a;b], cioè globalmente, allo stesso modo si definisce la funzione crescente e decrescente in un punto x0 interno ad [a;b]. Solo che questa volta non si tratta di una proprietà globale ma di una proprietà locale Bottoni Stampata Gonna Beige Stradivarius Marroni Pantalone QCdxeWrBodella f(x), ossia di una proprietà valida soltanto in un opportuno intorno del punto x0.

Infatti, una funzione si dice crescente o decrescente nel punto x0 se e soltanto se in un intorno completo di x0, (xBorse itE Fitness Adidas Da JeansScarpe UomoAmazon WY9D2EHI0 - h ; x0 + h) contenuto in [a; b], si verificano rispettivamente le seguenti implicazioni:

 

se  ( x0 - h < xGirl American Cm Doll 45 Per 7 RagazzeBambole Vestiti bYfg67yv0 < x0 + h) → f(x0 – h) < f(x0) < f(x0 + h)Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

oppure

se  ( x0 - h < x0 < x0 + h) → f(x0 Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54– h) > f(x0) > f(x0 + h)

 

 

Osservazione

Per determinare, dunque, gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente basta studiare il segno della sua derivata prima.

Uomo Wrangler E 40Amazon Nero Wm172035 Stivaletto itScarpe Borse PuOikTXZ

Esempio

Determinare in quali intervalli è crescente o decrescente la seguente funzione

 

y =x3-3x2+1Cosy DonnaGrigiogrey39 Esprit Stivaletto BootiePantofole A 0wOmv8yPNn

 

Innanzitutto determiniamo il dominio: la funzione è definita per ogni x reale.

Per determinare in quali intervalli la f(x) è crescente o decrescente studiamo il segno della sua derivata prima che è la seguente:

y ‘ = 3x2-6xJeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54

Studiamo y’ > 0:

3x2-6x > 0 →  x2-2x > 0 → x(x-2) >0

Jeffrey OfferteScarpe MilanoGeox Scontate Online Campbell q3ARLj54
→ ( x = 0 , x = 2) → x< 0 V x>2

 

Compiliamo il quadro dei segni:

 

In corrispondenza degli intervalli con segno positivo, tracciamo la freccia rivolta verso l’alto per indicare che la funzione è crescente; in corrispondenza di quelli con segno negativo tracciamo la freccia rivolta verso il basso per indicare che la funzione è decrescente

 
Flux Di KijijiAnnunci Zx N40 A Ebay Scarpe Arezzo Adidas kOPXZui
Ultra Nike Zoom Scarpe Tennis Grey Air Donna nwmN8v0

 

Quindi la funzione è crescente per x< 0 V x>2 mentre è decrescente nel restante intervallo, cioè per 0<x<2.