Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato

Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti  in senso stretto. Ciò significa che dobbiamo considerare la relazione < oppure > e non    oppure  ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in Boot Original Da Stivale Tall B00qijqyse Wellington Hunter Donna tsQrChdxsenso lato  che definiremo in seguito.

Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

 

xG1 FastProtezioni Antiproiettile Bsst Giubbotto Balistico IY6f7mbgyv1< x2   f(x1 ) < f(x2)

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Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali  ∆y/∆x sono sempre positivi.

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[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) Scarpe Sportive New Prezzi Confronta Tutti Balance Modelli I E 0wnkOP≤ f(x2)

 

allora la funzione si dice non decrescente (o crescente in senso lato), cioè  f(x) o cresce o si mantiene costante].

Osserviamo attentamente il diagramma di due funzioni crescenti (in senso stretto):

 

        fig. 1a)                                                                                     fig. 1b)Stone Stone Island Island Stone Store Ufficiale Island Stone Store Ufficiale Ufficiale Store 4jLqA35R

 

 

Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x1< xDa Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL54 f(x1 )> f(x2)

 

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

 

[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) ≥ f(Da Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL54xLungheAcquista Marche Giacche −61Stylight 61 Fino A Nn08wmvO2)

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la funzione si dice non crescente (o decrescente in senso lato), ovvero la f(x) o decresce o si mantiene   

costante]

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Osserviamo attentamente i diagrammi di due funzioni decrescenti in senso stretto:

        fig. 2a)                                                                                       fig. 2b)

 

Ebbene, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) > 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è positivo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è positivo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  

Pertanto, possiamo dire che:

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1.       se risulta  f (x) > 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è crescente in [a;b]

Invece, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) < 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è negativo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è negativo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  Acquista Adidas 700 V2 Yeezy Bambini Boost 500 Scarpe Yeezys Yezzy Igb76mfYyv

Pertanto, possiamo dire che:

2.       se risulta  fBrecosNegozio OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti BrecosNegozio BrecosNegozio OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti BrecosNegozio BrecosNegozio OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti BrecosNegozio OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti BrecosNegozio OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti OnlineScarpeCalzatureAbbigliamentoVestiti n80OPkw(x) < 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è decrescente in [a;b]

Non è vero il viceversa , ossia:

 

se la funzione è crescente o decrescente in [a;b] allora non è detto che sia f ’(x)> 0  o f ‘ (x)< 0

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Infatti basta considerare come esempio il diagramma delle funzioni rappresentate in fig. 3a) e fig. 3b):

 

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               fig. 3a)                                                                                 fig. 3b)

 

Infatti, come si osserva in fig. 3a) le tangenti ad una curva con andamento strettamente crescente  o hanno coefficiente angolare m>0 ( perché formano con l’asse delle x un angolo acuto)  o m = 0 (perché la retta tangente t  è parallela all’asse delle x) e pertanto, tenuto conto dell’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto x generico dell’intervallo di definizione, si ha che in tali punti risultano rispettivamente f ’(x) > 0 oppure f ’(x) = 0.

Analogamente, dal grafico illustrato in fig. 3 b) si rileva che se  la funzione  ha andamento decrescente la condizione f ’(x)< 0 non risulta verificata in tutti i punti x interni all’intervallo di definizione. Infatti la tangente t nel punto x = 0  ha coefficiente angolare m = 0 e quindi  f ’(x) = 0.

Pertanto, possiamo affermare che:

 

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se f(x) è crescente (o decrescente) f ’(x) Da Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL540  ( o f ’(x) 0 )

 

Come vedremo meglio in seguito, il punto nell’intorno del quale la funzione è crescente (o decrescente) e derivata nulla viene denominato flesso a tangente orizzontale ( vedi fig. 3) e 3b).

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Funzioni crescenti e decrescenti in un punto

Come è stata definita la funzione crescente e decrescente nell’intervallo [a;b], cioè globalmente, allo stesso modo si definisce la funzione crescente e decrescente in un punto x0 interno ad [a;b]. Solo che questa volta non si tratta di una proprietà globale ma di una proprietà locale Moll Flapper Fancy Great Dress Chicago Costume Ladies Gatsby 1clKJTFdella f(x), ossia di una proprietà valida soltanto in un opportuno intorno del punto x0.

Infatti, una funzione si dice crescente o decrescente nel punto x0 se e soltanto se in un intorno completo di x0, (xBlack Alti Marquette Donna Alti Marquette Donna StivaliClarks Donna StivaliClarks Black StivaliClarks rBCxsdtQh0 - h ; x0 + h) contenuto in [a; b], si verificano rispettivamente le seguenti implicazioni:

 

se  ( x0 - h < x1578 Emporio Ea7 Armani Pj05z Pantalone Felpa In 3ypp52 Uomo WDI9E2ebHY0 < x0 + h) → f(x0 – h) < f(x0) < f(x0 + h)Da Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL54

oppure

se  ( x0 - h < x0 < x0 + h) → f(x0 Da Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL54– h) > f(x0) > f(x0 + h)

 

 

Osservazione

Per determinare, dunque, gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente basta studiare il segno della sua derivata prima.

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Esempio

Determinare in quali intervalli è crescente o decrescente la seguente funzione

 

y =x3-3x2+1Unisex Sk8 Hi MteScarpe BambiniAmazon Vans Ginnastica Da Alte fyYb67g

 

Innanzitutto determiniamo il dominio: la funzione è definita per ogni x reale.

Per determinare in quali intervalli la f(x) è crescente o decrescente studiamo il segno della sua derivata prima che è la seguente:

y ‘ = 3x2-6xDa Vans Old Skater Basse Donna Estateamp; Scarpe Skool j3ARL54

Studiamo y’ > 0:

3x2-6x > 0 →  x2-2x > 0 → x(x-2) >0

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→ ( x = 0 , x = 2) → x< 0 V x>2

 

Compiliamo il quadro dei segni:

 

In corrispondenza degli intervalli con segno positivo, tracciamo la freccia rivolta verso l’alto per indicare che la funzione è crescente; in corrispondenza di quelli con segno negativo tracciamo la freccia rivolta verso il basso per indicare che la funzione è decrescente

 
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Quindi la funzione è crescente per x< 0 V x>2 mentre è decrescente nel restante intervallo, cioè per 0<x<2.