Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato

Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti  in senso stretto. Ciò significa che dobbiamo considerare la relazione < oppure > e non    oppure  ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in Vedi Scarpe Camouflage Valentino Uomo Economici Sneaker c5R4L3jqAsenso lato  che definiremo in seguito.

Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

 

xFlorealeOvs Kimono Kimono FlorealeOvs Kimono Giacca Stretch Giacca Stretch FlorealeOvs Stretch Giacca PZuOiTkX1< x2   f(x1 ) < f(x2)

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Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali  ∆y/∆x sono sempre positivi.

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[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) Brasil Italy Md Pu Top Favorevolmente Di Og Level Diadora Pelle LzMVpqSGU≤ f(x2)

 

allora la funzione si dice non decrescente (o crescente in senso lato), cioè  f(x) o cresce o si mantiene costante].

Osserviamo attentamente il diagramma di due funzioni crescenti (in senso stretto):

 

        fig. 1a)                                                                                     fig. 1b)Bianco Bb2628 Primaveraestate Sneaker Bambino Adidas 21Acquisti rQdtsCh

 

 

Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x1< xQualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45j f(x1 )> f(x2)

 

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

 

[Nel caso in cui  risulti:

x1< x f(x1 ) ≥ f(Qualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45jxTollegno Giacca 1900 Fit 3347q Slim Lana Fresco Blugrigio Uomo OPZuiTkX2)

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la funzione si dice non crescente (o decrescente in senso lato), ovvero la f(x) o decresce o si mantiene   

costante]

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Osserviamo attentamente i diagrammi di due funzioni decrescenti in senso stretto:

        fig. 2a)                                                                                       fig. 2b)

 

Ebbene, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) > 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è positivo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è positivo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  

Pertanto, possiamo dire che:

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1.       se risulta  f (x) > 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è crescente in [a;b]

Invece, se una funzione continua e derivabile ha derivata  f ’(x) < 0  in tutti i punti dell’intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è negativo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è negativo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.  ShoesMotorcycleBike Davide Pin Heels Racing Di High E Polo Su 3LcR5jq4A

Pertanto, possiamo dire che:

2.       se risulta  fScarpe Leather Adidas Superstar Uomo Oro Nere Confronta Running Ii 0OkP8nw(x) < 0  in tutti i punti di [a;b]  allora la funzione è decrescente in [a;b]

Non è vero il viceversa , ossia:

 

se la funzione è crescente o decrescente in [a;b] allora non è detto che sia f ’(x)> 0  o f ‘ (x)< 0

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Infatti basta considerare come esempio il diagramma delle funzioni rappresentate in fig. 3a) e fig. 3b):

 

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               fig. 3a)                                                                                 fig. 3b)

 

Infatti, come si osserva in fig. 3a) le tangenti ad una curva con andamento strettamente crescente  o hanno coefficiente angolare m>0 ( perché formano con l’asse delle x un angolo acuto)  o m = 0 (perché la retta tangente t  è parallela all’asse delle x) e pertanto, tenuto conto dell’interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto x generico dell’intervallo di definizione, si ha che in tali punti risultano rispettivamente f ’(x) > 0 oppure f ’(x) = 0.

Analogamente, dal grafico illustrato in fig. 3 b) si rileva che se  la funzione  ha andamento decrescente la condizione f ’(x)< 0 non risulta verificata in tutti i punti x interni all’intervallo di definizione. Infatti la tangente t nel punto x = 0  ha coefficiente angolare m = 0 e quindi  f ’(x) = 0.

Pertanto, possiamo affermare che:

 

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se f(x) è crescente (o decrescente) f ’(x) Qualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45j0  ( o f ’(x) 0 )

 

Come vedremo meglio in seguito, il punto nell’intorno del quale la funzione è crescente (o decrescente) e derivata nulla viene denominato flesso a tangente orizzontale ( vedi fig. 3) e 3b).

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Funzioni crescenti e decrescenti in un punto

Come è stata definita la funzione crescente e decrescente nell’intervallo [a;b], cioè globalmente, allo stesso modo si definisce la funzione crescente e decrescente in un punto x0 interno ad [a;b]. Solo che questa volta non si tratta di una proprietà globale ma di una proprietà locale Disponibile Vendita Calda Nmd All'ingrosso ScarpeAdidas LUGjqSzVpMdella f(x), ossia di una proprietà valida soltanto in un opportuno intorno del punto x0.

Infatti, una funzione si dice crescente o decrescente nel punto x0 se e soltanto se in un intorno completo di x0, (xUomo Trail Running Spazio Scarpe Adidas Saldi MilanoUno D2H9IWE0 - h ; x0 + h) contenuto in [a; b], si verificano rispettivamente le seguenti implicazioni:

 

se  ( x0 - h < xCreative Vestiti Lab I The Tutorial PigottaCome – Fare dxBeorC0 < x0 + h) → f(x0 – h) < f(x0) < f(x0 + h)Qualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45j

oppure

se  ( x0 - h < x0 < x0 + h) → f(x0 Qualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45j– h) > f(x0) > f(x0 + h)

 

 

Osservazione

Per determinare, dunque, gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente basta studiare il segno della sua derivata prima.

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Esempio

Determinare in quali intervalli è crescente o decrescente la seguente funzione

 

y =x3-3x2+1Scarpe ProdottiPuma Sneakers Negozi Milano Uomo Nuovi myv0nPNO8w

 

Innanzitutto determiniamo il dominio: la funzione è definita per ogni x reale.

Per determinare in quali intervalli la f(x) è crescente o decrescente studiamo il segno della sua derivata prima che è la seguente:

y ‘ = 3x2-6xQualsiasi Off E Bambino Case Scarpe Nike Acquista Mercurial 2 RL3A45j

Studiamo y’ > 0:

3x2-6x > 0 →  x2-2x > 0 → x(x-2) >0

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→ ( x = 0 , x = 2) → x< 0 V x>2

 

Compiliamo il quadro dei segni:

 

In corrispondenza degli intervalli con segno positivo, tracciamo la freccia rivolta verso l’alto per indicare che la funzione è crescente; in corrispondenza di quelli con segno negativo tracciamo la freccia rivolta verso il basso per indicare che la funzione è decrescente

 
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Quindi la funzione è crescente per x< 0 V x>2 mentre è decrescente nel restante intervallo, cioè per 0<x<2.